7/8/08

El teorema más importante de toda la matemática

Por Jacob Bronowski

Los cuatro puntos principales -sur, oeste, norte y este- de los triángulos que forman el cruce del compás, son las esquinas de un cuadrado. Muevo los cuatro triángulos de forma tal que el lado más grande de cada uno termina en el punto principal de su vecino. He construido un cuadrado cuyos lados son los más largos de cada triángulo rectángulo, la hipotenusa. Únicamente con el objeto de saber qué forma parte del área comprendida y qué no, voy a colocar un azulejo adicional en la pequeña área cuadrada interior, hasta ahora vacía.



Tenemos ahora un cuadrado formado por la hipotenusa y podemos, mediante cálculos, relacionar éste con los cuadrados de los dos lados más pequeños. Pero así se perdería de vista la estructura natural y la interiorización esencial de la figura. No hay necesidad de calcular. Un juego sencillo que los niños y los matemáticos practican demostrará aún más. Transpongamos dos triángulos a posiciones nuevas. Movamos el triángulo que señalaba hacia el sur de modo que su lado más largo esté junto al lado más largo del triángulo que señalaba hacia el norte. Y movamos el triángulo que señalaba hacia el este de modo que su lado más largo esté junto al lado más largo del triángulo que señalaba hacia el oeste.

Así habremos construido una figura en forma de L de área igual (claro, porque está formada de las mismas piezas), cuyos lados percibimos en términos de los lados más pequeños de los triángulos rectángulos. Para aclarar visualmente la composición de esta figura en forma de L, la dividimos con una raya, separando la parte vertical de la horizontal. Queda entonces claro que ésta es un cuadrado formado por los lados más cortos del triángulo; y que aquélla es un cuadrado basado en el más largo de los dos lados que forman el ángulo recto.

Pitágoras demostró así un teorema general: no sólo para el triángulo egipcio de proporciones 3:4:5, o cualquier triángulo babilónico, sino para todo triángulo que contenga un ángulo recto. Demostró que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Por ejemplo, los lados tres, cuatro y cinco forman un ángulo recto porque

5^2 = 5 x 5 = 25
= 16 + 9 = 4 x 4 + 3 x 3
=4^2 + 3^2.

Y lo mismo es cierto para los lados de los triángulos encontrados por los babilonios, sean los simples como 8:15:17, o los más formidables como 3367:3456:4825, lo cual no deja lugar a duda de que eran hábiles para la aritmética.

Hasta hoy, el teorema de Pitágoras sigue siendo el teorema individual más importante de toda la matemática. Parece extraordinario decirlo, pero no es una extravagancia; porque lo que estableció Pitágoras es una caracterización fundamental del espacio en que nos movemos, traducido por primera vez a números. Y el ajuste exacto de los números describe las leyes exactas que regulan el universo. En efecto, los números que componen los triángulos rectángulos han sido propuestos como posibles mensajes a otros planetas, en búsqueda de prueba de la existencia de vida racional en éstos.

Fuente: Bronowski, J. (1973), El ascenso del hombre, Sistemas Técnicos de Edición, México.

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